比例、反比例の解き方!グラフの書き方も丁寧に解説!

2023.10.05

中学一年生の数学で習う比例・反比例。

比例・反比例の数の関係を把握して式をつくり、未知の値を予測するといった関数の基本的な意義を理解し、数学的な思考を養います。

また、比例・反比例の式をx座標とy座標のグラフに表わすこともします。数学とグラフの結びつきを実感でき、数学的な分析やグラフの読み解きの力が伸びる範囲でもあります。

比例・反比例は、このように数学的に考える力の土台をつくってくれる大切な単元ではありますが、小学校までの算数と比べると抽象的で難しい点があり、苦手に感じられる方も多いです。

この記事では、比例・反比例の基礎からグラフの書き方まで丁寧に解説します。

ぜひ比例・反比例を学んで、数学の面白さを感じてもらえればと思います。

比例とは

まずは比例について学んでいきましょう。

比例は簡潔に言うと、xの値が2倍、3倍……となるとyの値も2倍、3倍……となるような関係のことを言います。

たとえば、1本100円のシャーペンをx本買ったときの代金をyとします。

すると、シャーペンの本数xが2倍、3倍……となると代金yの値も2倍、3倍……となるのがイメージできると思います。yの値はxに比例していますね。

この関数を、式で表してみましょう。すると、

y=100x

になりますね。

このように、比例は必ずy=αxという式で表せます。

αには、先ほどのシャーペンの代金のたとえでつくった式のように、100など具体的な数字が入ります。

式の中で、xやyのように色んな値になるものを「変数」と言います。

一方、αのように常に具体的な一定の値をとるものを「定数」と呼び、特に比例の式の定数を「比例定数」と言います。先述のシャーペンの代金を表す式y=100xで言うなら、比例定数は「100」ですね。

関数の式の中でも、y=αxの形になる式はxとyは比例関係にあることを表している、というポイントを押さえてください。

 

反比例とは

次に、反比例について見ていきましょう。

反比例は簡潔に言うと、xの値が2倍、3倍……となるとyの値は1/2倍、1/3倍……となるような関係のことを言います。

たとえば、面積36㎠の長方形のたての長さをx cm、横の長さをy cmとします。

xとyの値の関係を、表にしてみましょう。

 x(たての長さ)

1

2

3

4

 y(よこの長さ)

36

18

12

9

 

xが2倍になるとyは1/2倍に、xが3倍だとyは1/3倍に……となっているのが理解できると思います。このような関係のとき、yの値はxに反比例していると言えます。

この関数を、式で表してみましょう。すると、長方形の面積=たての長さ×よこの長さなので、

36=xy

y=36/x

になりますね。

このように、反比例は必ずy=α/xという式で表せます。

反比例でも比例のときと同じく、αにあたるところを「比例定数」と言います。今回の長方形の面積の式で言うなら、比例定数は「36」ですね。

関数の式の中でも、y=α/xの形になる式はxとyは反比例関係にあることを表している、というポイントを押さえてください。

y=αxは比例、y=α/xは反比例、ということを理解することが一番大切です。

グラフの書き方

グラフになると、式が目で見える形になり、よりわかりやすく比例や反比例の数の関係性を示すことができます。また、一定の規則的な線を描けるので、イラストの作成などで使われることもあります。

まずは比例のグラフの書き方や特徴を見ていきましょう。

ここでは、y=2xのグラフの作成を考えてみます。y=2xの式は、y=αxの形になっているので、比例の式ですね。

xに-2~2までの整数を入れて、それぞれのyの値を出してみます。すると、以下の表のようになりました。

 

点A

点B

点C

点D

点E

 x

-2

-1

0

1

2

 y

-4

-2

0

2

4

 

さて、数学のグラフ上である点の位置を表すとき、「座標」というものがよく使われるので、ここで学んでおきましょう。

上の表のとおり、関数はxの値が決まればyの値も決まるので、グラフで示す点の位置はxとyの値が分かれば決めることができます。座標は、グラフである点の位置を示す値のペアです。

たとえばx=-2、y=-4の点Aなら、座標は以下のように表記します。

A(-2, -4)

かっこ内の初めの数字がxの値で「x座標」と言い、2つめの数字がyの値で「y座標」と言います。点Dなら座標はD(1, 2)と表記し、x座標が1、y座標が2ですね。

では、先ほどの表を参考に、グラフの該当するところに、点を書きましょう。グラフは縦軸がyの値を、横軸がxの値を示しています。点を入れると、以下のようになります。

最後に、書いた点を貫くように直線を書けば、グラフの完成です!

このように、比例のグラフはまっすぐな、x座標もy座標も0の原点を通る直線になることが特徴です。

 

次は反比例のグラフです。

ここでは、y=6/xのグラフの作成を考えてみます。y=6/xの式は、y=α/xの形になっているので、反比例の式ですね。

xに-3~-1、1~3までの整数を入れて、それぞれのyの値を出してみます。すると、以下の表のようになりました。

 

点A

点B

点C

点D

点E

点F

 x

-3

-2

-1

1

2

3

 y

-2

-3

-6

6

3

2

 

x=0のときは?と思われた方もいらっしゃるかもしれません。とてもいい気づきです!

一つの答えを求める数学においては、0で割る計算は答えが一つに定まらないので、y=6/0は定義できないと考えます。

では、表を参考に、グラフの該当するところに点を書きましょう。すると、以下のようになります。

最後に、点を線で結び貫くのですが、xが正の数のときと負の数のときに分けて2本の線を書くことと、x軸とy軸に触れない曲線にすることに注意してください。

このように、反比例のグラフは2つのx軸とy軸に接しない曲線ができることが特徴です。

まとめ

この記事では、比例・反比例とはなにか、それぞれのグラフの書き方を解説しました。

抽象的でややこしく感じられる範囲かもしれませんが、困ったときは同じものを買うときの代金や、長方形の面積など身近で具体的な例に置き換えて、ゆっくりと考えてみるのがおすすめです。

数量の関係を考え、それをグラフで可視化することは、科学的思考の基礎になります。

ぜひこの記事を参考に比例と反比例を学んで、数学の奥深い世界への一歩を踏み出してください。

 

 

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