単項式とは?多項式とは?計算方法をわかりやすく解説!

2023.10.20

学二年生の数学で勉強する「単項式と多項式」。

数学で文字を含んだ式を扱い、その計算の仕方に慣れる上で大切な範囲です。

ですが、新たに出てくる用語が多い範囲なので、まずは用語を正しく理解することが必要になってきます。

その上、文字式の計算ができるようにならないといけないので、学習することがたくさんあり、大変に感じる人が多い範囲でもあります。

この記事では、「単項式と多項式」に出てくる用語から計算方法まで、例とともに丁寧に解説します!

ぜひ記事を参考に、単項式と多項式についての理解を深めてくださいね。

単項式とは?多項式とは?

まずは単元のタイトルにもなっている単項式と多項式について正しく理解しましょう!

その前に、「項」とは何だったか確認しておきましょう。

項とは?変数と係数と定数項についても学習しよう

項とは、式を+や-の符号で区切ったときにできる数字や文字のかたまりのことを指します。

たとえば、

4x-3y+7

という数式の項は、式の+や-の符号で区切り、4xと-3yと7になります。

項を答える場合、+の符号は省略してOKです。

そして、この式にはxとyという、いろいろな値を入れて、さまざまな数値に変われる文字がありますね。こういった文字を変数と言います。

また、こういった変数にかかっている数字は係数です。

今回の場合、xの係数は4で、yの係数は-3です。

さらに、変数のような未知な数を含まない項のことを定数項と言い、この式では7が定数項となります。

単項式とは?

「単」という漢字には「ひとつ」という意味がありますよね。

その名の通り、単項式とは、項がひとつの式のことを指します。

他の言い方をすると、数や文字の積のみで表される式です。

例を挙げると、

+2
-3x
xy
a2

などがあります。

どれも項はひとつしかありませんし、数や文字の積のみで表すことのできる式ですよね。

多項式とは?

一方で、多項式は項が複数ある式のことを指します。

また、単項式の和で表される式と言うこともできます。

たとえば、

x+2
x-y+8

などの式は多項式です。

一つ目の式は項がxと2、二つ目の式はxと-yと8というように、いずれも項が複数ありますよね。

単項式と多項式の応用:整数nを使って

-2、-1、0、1、2、3などを含む整数。

数学において、数や図形の性質を求めたり、証明をしたりする際にはよく整数を文字nで表します。

その上で、偶数、奇数、倍数を単項式もしくは多項式で表すことができます。

偶数:2n
奇数:2n+1
倍数:3の倍数なら3n、4の倍数なら4n、というように他の倍数も同様。

単項式と多項式を勉強し始めたばかりの段階では少し難しいかもしれませんが、知っておくと今後の数学の勉強に活かすことができます。

次数とは

次に、次数について解説します。

次数は、単項式でかけあわされている文字の個数のことを言います。

たとえば、

3x2

の場合は、文字xが2個かけあわされているので、次数は2になります。

3は文字ではなく数字なので、次数を考える際には関係ありません。

この場合、3はx2の係数ですね。

次数は、指数の合計と一致します。

xyz

の場合だと、xの指数が1、yが1、zが1で合計3ですし、実際3個の文字をかけあわせているので次数は3です。

そして、多項式の次数は、その式を構成する各項の次数の中で、最も大きなものになります。

4x-yz

という多項式の次数を考えてみましょう。

それぞれの項の次数は4xの項が1、-yzの項が2で、2が最も大きいので、この式の次数は2です。

ところで、数学の勉強をしていると、1次式や2次式といった言葉を聞いたことがあるかもしれません。

この数字は、その式の次数を表しています。

なので、先ほどの単項式xyzは3次式で、多項式4x-yzは2次式ですね。

単項式の乗法と除法

用語を理解したところで、単項式の乗法と除法の学習をしていきましょう。

単項式の乗法

単項式の乗法で押さえてほしいポイントは、以下の3つです。

① 数字は数字、文字は文字同士でかけ算をする。
② 同じ文字のかけ算は累乗を使って表す。
③まず係数を書き、文字はアルファベット順に並べる。

この3つのポイントを確認しながら、実際に以下の問題の計算をしてみましょう。

-2x × 2x × 5y

最初は①のポイントに沿い、数字に着目すると、-2 × 2 × 5となります。文字はx × x × yですね。数字は計算すると-20です。

文字の計算をする際には、②のポイントを思い出しましょう。今回はx × x は同じ文字のかけ算なので、累乗を使って表せますね。x × x × y = x2yとなります。

答えは③のポイントに従って表記しましょう。まずは係数、そのあとにアルファベット順に文字が並びます。

なので、

-2x × 2x × 5y = -20 x2y

となります。

単項式の除法

除法の場合は、乗法に直して、つまり割る数を逆数にしてかけ算の形にして計算しましょう。

同じ文字なら数字と同じように、約分することができます。

8ab÷2b
= 8ab × 1/2b
= 4a

多項式の解き方

それでは、多項式の計算方法を学んでいきましょう。

多項式の加法・減法

文字が出てくるたし算をする場合のポイントは以下の2点です。

① かっこを外す。
② 同じ文字を見つけ、その文字の係数同士を計算する。

(2x + 3y) + (– 3x + 4y)

という計算なら、まずは①に従ってかっこを外します。

(2x + 3y) + (– 3x + 4y)
= 2x + 3y – 3x + 4y

では、②に沿って同じ文字同士でまとめて、係数を計算します。

(2x + 3y) + (– 3x + 4y)
= 2x + 3y – 3x + 4y
= (2 - 3)x + (3 + 4)y
= -x + 7y

多項式の乗法

文字を含んだ多項式のかけ算をする際は、分配法則を使いましょう。

分配法則とは、A(B + C) = AB+AC というように、かっこ内の項B、Cそれぞれに分配するようにAをかけることが可能なことを指しました。

かっこの外にあるものを、かっこの中にある項それぞれにかけましょう。

3 (3a + 7b)
= 3 × 3a + 3 × 7b
= 9a + 21b

多項式の除法

割り算の場合は、割る数を逆数にし、かけ算にして計算しましょう。

かけ算にしてしまえば、先ほど「多項式の乗法」でご説明した通り、分配法則を使って計算ができます。

(18x – 9y) ÷ 9
= (18x – 9y) x 1/9
= 2x-y

まとめ

この記事では、単項式と多項式について、用語の意味から計算のやり方まで解説しました。

新しい用語が多いですが、今後数学を学んでいく上で大切な用語ばかりです。

数学の問題の文中や解説でも使われる用語ばかりなので、少しずつ理解していきましょう。

また、文字を含んだ計算は練習を重ねて慣れないとなかなかすんなりとはできないので、少し大変かもしれませんが、正しくできるようになると、数学の世界がぐっと広がりますよ。

この記事を参考に、ぜひ数学を楽しんでくださいね。

 

 

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