連立方程式とは?解き方をわかりやすく解説!練習問題、応用問題にも取り組もう!

2022.11.24

byかむら

連立方程式は中学数学に出てくる方程式の1つです。
求められる答えが増え、方程式のなかに数字や記号が並ぶことで混乱しますよね。
連立方程式に苦手意識を持つ人も多くいます。

ここでは、連立方程式の解き方を解説し、おすすめの解き方を紹介します。
ぜひ参考にして、連立方程式を解くときの参考にしてみてください。

連立方程式とは?

連立方程式とは複数の方程式が組み合わさってできたものです。
問題のなかで求める数字が2つ以上になったときに、方程式を複数用意して答えを導きだすために連立方程式を使います。

求める数字が2つのときは方程式が2つ、答えが3つのときは方程式が3つ必要になってきます。

求める答えが複数あるときは、数にあわせた方程式を用意しなければ、答えがだせないので、文章問題を解く際には、答えと方程式の数に注意しましょう。

式や文字が複数あると、何をどうしていいかわからずに、混乱する人も多いと思います。
一つひとつ丁寧に解いていきましょう。

連立方程式の解き方

連立方程式は基本的に、どちらかの文字を消すことで解けるようになります。
一文字消すことで、連立方程式ではなく、普通の方程式として扱えるためです。

連立方程式のなかの文字を消去する方法として加減法代入法があげられます。
連立方程式に単純な式があれば代入法、そうでなければ加減法を使うといいでしょう。

どちらの解き方でも連立方程式は解けますが、基本的には加減法を使った解き方がおすすめです。
式が単純な場合や、代入法で解く指定がない場合は、加減法を使ったほうが簡単に解けます。

ここでは、連立方程式におけるそれぞれの解き方を詳しく解説します。

加減法

加減法とは、連立方程式に数字を足したり引いたりすることで、求める数字を1つに絞る解き方です。

ここでは加減法で連立方程式を解く手順を紹介します。

  1. 連立方程式のなかで、xやyの項が同じになるように数字をかけたり割ったりする
  2. 2つの方程式を足したり割ったりして、求める数字を1つに絞る
  3. 1つの答えがわかったら、元の方程式にあてはめて、残りの数字を割りだす

詳しく解説します。

2x+2y=8  …①
5x+2y=11…②

という連立方程式の場合
①-②をすれば2yが消え

-3x=-3
   x=1 になります。
元の式にx=1を代入すると

2・1+2y=8
      2+2y=8
            2y=6
              y=3

となり、答えはx=1、y=3と導きだせます。

項の係数がそろっていない場合は、式全体に数字をかけたり割ったりして係数をそろえる必要があります。

4x+3y=23…①
2x+5y=29…②

それぞれの係数が違う連立方程式の場合、②に2をかけると

②2・2x+2・5y=2・29 から
              4x+10y=58…③

に変換できます。
xの係数がそろったので、計算していきましょう。

①4x+3y=23
③4x+10y=58

①-③をすると

-7y=-35
      y=5

元の式にy=5を代入して

4x+3・5=23
    4x+15=23
            4x=23-15
            4x=8
              x=2

となり、答えはx=2、y=5と導きだせます。

加減法は項の係数をそろえることが大切です。
連立方程式を解く際には、最初に係数がそろっているか、そろいそうなところがあるのかを確認しましょう。

代入法

代入法は、式のなかにもう一方の式を代入する解き方です。
連立方程式のなかに、x+y=8や、y=2x+3などのxやyに係数のついていない単純な式の場合に利用できます。

複雑な方程式でも代入法で解くことは可能です。
しかし、計算がややこしくなるため、基本的には加減法の方が簡単に連立方程式を解けます。

ここでは代入法で連立方程式を解く手順を紹介します。

  1. 片方の方程式を変換し、x=の形を作る (xでもyでも変換しやすい方を選ぶ)
  2. もう一方の方程式に1.で変換した式を代入する
  3. 2.でできた方程式を解き、答えを求める
  4. 1つの答えがわかったら、元の式にあてはめて、残りの数字を割りだす

詳しく解説します。

  x+y=5…①
5x-3y=9…②

という連立方程式があります。

①はx=5-yに変換できます。
これを②に代入していきましょう。

5(5-y)-3y=9
25-5y-3y=9
  -5y-3y=9-25
              -8y=-16
                    y=2

yの値がわかったので①に代入します。

x+2=5
      x=5-2
      x=3

答えはx=3,y=2と導きだせました。

連立方程式が解けたら、もう一度最初の式に答えを代入して、式が成立するかチェックしましょう。
式として成立しない場合、途中の計算が間違っている可能性があるので、しっかりとした確認が必要です。

文章問題にもチャレンジしてみよう

連立方程式の解き方がわかったら、さっそく実践してみましょう。
連立方程式は文章題として出題されることが多く、何をxやyに設定するかがポイントです。
問題文をしっかりと読んで、正確な答えを導き出しましょう。

問題

Aさんがリンゴを2個、みかんを3個買うと、合計で700円でした。
同じ店でBさんがリンゴを3個、みかんを5個買うと、合計で1100円でした。
リンゴとみかんの値段を答えなさい。

このような問題の場合、求めるのは値段なので、リンゴの値段をx円、みかんの値段をy円と設定します。
問題を式にすると

2x+3y=700  …Aさんの買い物
3x+5y=1100…Bさんの買い物

という連立方程式ができあがります。
加減法で実際に解いてみましょう。

まず、計算しやすくするために方程式を変換します。
方程式に共通する項がないので、上下どちらの方程式も変換しましょう。
変換する数字はxとyどちらにあわせてもいいですが、自分の計算しやすい方を選びます。
ここでは数字の小さいxを消してみましょう。

3(2x+3y)=3・700
2(3x+5y)=2・1100

xを消すために、xの係数をそろえようとそれぞれの方程式に3と2をかけました。

2と3の最小公倍数の6にするためにかけたものですが、公倍数であれば最小でなくてもかまいません。自分の計算しやすい公倍数を選ぶといいでしょう。
ただし、計算を簡単にするために、最小公倍数を選ぶのがおすすめです。

方程式を整理すると

  6x+9y=2100…①
6x+10y=2200…②

ここで①-②をすると

-y=-100
    y=100

となり、yの値がわかりました。

yの値を元の方程式に代入します。
このときはどちらの方程式でもいいので、自分の計算しやすい方を選びましょう。
今回は上の方程式に代入します。

2x+3・100=700
      2x+300=700
                2x=700-300
                2x=400
                  x=200

ここで、x=200、y=100ということがわかりました。

答えはリンゴが200円、みかん100円となります。

応用問題に挑戦!

連立方程式の文章題として、食塩水の問題が出されることが多くあります。
食塩水の問題も何をxとyにあてはめるかが、重要です。
詳しく見ていきましょう。

問題
濃度2%の食塩水と、濃度8%の食塩水から、濃度4%の食塩水が300g必要です。
2%の食塩水、8%の食塩水、それぞれ何g必要か求めなさい。

ここではそれぞれの食塩水の必要量を求めています。
2%の食塩水をxg、8%の食塩水をygと設定します。

あわせて300gの食塩水を作りたいので、

x+y=300

という式ができます。

さらに、できあがる食塩水の濃度を4%にする必要があるので、式を作ります。
食塩水の濃度は、なかにどれだけの食塩が含まれているか示したものです。
濃度2%は100gの水のなかに2gの食塩が含まれているという意味なので、方程式を作ります。

食塩水の濃度

計算しやすくするために両辺に100をかけて分母を消すと

2x+8y=1200

という方程式が出てきます。
ここで、最初に作った方程式と組みあわせて連立方程式として解いていきましょう。

2x+8y=1200…①
     x+y=300…②

下の式が単純なので、加減法でも代入法でも簡単に解くことができます。

加減法の場合

係数をそろえるために下の式の両辺に2をかけます。

     2x+8y=1200
2(x+y)=2・300

式を変換して

2x+8y=1200…①
2x+2y=600  …③

①-③で

6y=600
  y=100

①にy=100を代入し

x+100=300
           x=200

x=200、y=100

必要な食塩水の量は2%200g、8%100gと導きだせます。

代入法の場合

x+y=300を
x=300-yにして①に代入します。

2(300-y)+8y=1200
     600-2y+8y=1200
            -2y+8y=1200-600
                          6y=600
                            y=100

yの値をはじめの式に代入し、xの値を求めます。

x+100=300
        x=200

x=200、y=100

となり、加減法でも代入法でも同じ答えがだせます。

文章題は長々と書かれているものが多く、複雑に見えます。
じっくりと問題をよく読んで、何が求められているかを確認し、xとyに置き換えることで連立方程式として解けるようになります。

まとめ

連立方程式は、数字や文字が並んでいて一見難しそうに思えます。
しかし、一つひとつ丁寧に解きほぐすことで、確実に解ける問題です。

連立方程式が苦手な人も、練習問題を多く解けば、連立方程式を解くコツが身につきますよ。
連立方程式でつまずいたときは、一度冷静になり、ゆっくり解いていきましょう!

 

 

 

 

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