わかりやすく解説!一次方程式の解き方はこうだ!

2023.03.09

Byかむら

一次方程式は、中学1年生で学習する方程式のひとつです。
突然記号が出てきて、混乱する人も多いのではないでしょうか?
一次方程式はゆっくりと整理していけば、苦手な人でも必ず解けるようになります。

この記事では、基本的な一次方程式の解き方から、小数・分数を含む一次方程式、さらには比例式の解き方まで解説しています。
一次方程式は、今後の学習の基礎となるものですので、しっかり復習しておきましょう。

 

一次方程式とは?

一次方程式とは、求める答えがひとつであり、かつ次数が1の方程式のことです。
次数とは、数字や記号の右上についた数字のこと。x1の次数、1は省略できます。
x2は次数が2、x3は次数が3と呼ばれています。
次数が1の方程式のため、一次方程式と呼ばれているのです。
(次数が2なら二次方程式、3なら三次方程式と呼びます)

一次方程式とは、式のなかで不明な数字xを求めるための方程式です。
言葉にするとむずかしく感じるかもしれませんが、2+■=5という問題で、■に入る数字を求められたら、小学校の学習でも解けますね。

一次方程式も同様に、わからない数字を求めるだけの式ですので、ゆっくりと解いていきましょう。

一次方程式とは?

基本的な一次方程式の解き方

一次方程式を解くためには、等式(=でつながった式)の性質を覚えておきましょう。

等式の性質 A=Bの場合

  • ①A+C=B+C
  • ②A-C=B-C
  • ③A✕C=B✕C
  • ④A÷C=B÷C
  • 一次方程式は等式の性質を利用しながら、数字の項と文字の項を整理して解きます。
    x=〇の形にするため、左辺をxだけにするのが、一次方程式の基本です。
  • それでは実際の問題を見て、解き方を学習しましょう。

【例題①】x-7=-5   

   x-7=-5           左辺をxだけにするため、両辺に7をたす(等式の性質①)
   x-7+7=-5+7    両辺を計算すると、答えが出る
      x=2

両辺に同じ数字をたさなくても、項を移動させることで、計算を簡単にする方法があります。
x-7=-5の-7を=を左側に移動させます。このとき、=をまたぐことで、符号を変える決まりがあるのです。
つまり、x=-5 + 7(-7が=をまたいで+7に変化した)となります。

この項を移動させる行為を移項といいます。
移項するときは、必ず符号を変えることを覚えておきましょう。

【例題②】 2x-7=-3x+9
xの数が増えても、考え方は同じです。xを左辺に、数字を右辺に集めましょう。

  2x-7-3x+9   左辺にx右辺に数字を集める
2x+3x9+7
     5x=16               両辺を5で割る(等式の性質④)
    x=16/5

【例題③】3(4x-5)=4(x+2)+3(2x-1)
  3(4x-5)=4(x+2)+3(2x-1)   それぞれ計算してカッコをひらく
  12x-15=(4x+8)+(6x-3)
12x-4x-6x=8-3+15        左辺にx、右辺に数字を集める
       2x=20                                     両辺を10で割る
      x=10

基本的な一次方程式の解き方

小数点を含む方程式の解き方

小数を含む方程式は、計算しやすくするために、両辺に小数点が取れる数字をかけます。
たとえば0.1なら10をかければ1、0.06なら100をかければ6というように、整数にして計算するのが基本です。

このとき、両辺には必ず同じ数字をかけます
等式の性質③(A✕C=B✕C)を利用して、小数を含む一次方程式を解いていきましょう。

【例題④】0.3x-0.5=0.8
    0.3x-0.5=0.8
(0.3x-0.5)✕10=0.8✕10             両辺に10をかけて小数をなくす
     3x-5=8
      3x=8+5                       移項して計算する
      3x=13                           両辺を3で割る
        x=13/3

【例題⑤】 -0.09x-0.1=-2.8
   -0.09x-0.1=-2.8           両辺に100をかけて小数をなくす
(-0.09x-0.1)✕100=-2.8✕100 
       -9x-10=-280
            -9x=-280+10
         -9x=-270            両辺を9で割る
            x=30

【例題⑥】 0.9x+0.2(3x-2)=4.6
     0.9x+0.2(3x-2)=4.6               カッコをひらく
      0.9x+0.6x-0.4=4.6              両辺に10をかけて小数をなくす
     (0.9x+0.6x-0.4)✕10=4.6✕10 
        9x+6x-4=46                移項して記号と数字をまとめる
        9x+6x=46+4
           15x=50               両辺を15で割る
             x=50/15          約分する
             x=10/3

小数点を含む方程式の解き方

分数を含む方程式の解き方

分数を含む方程式は、両辺に分母の最小公倍数をかけることで解けるようになります。
分母に最小公倍数をかけると、分数ではなくなり、計算しやすくできるのです。
詳しく見ていきましょう。

【例題⑦】1/6x=2/3  この場合、6と3の最小公倍数は6です
  1/6x=2/3                      両辺に6をかける
1/6x✕6=2/3✕6     約分すると、整数になる
     x=2✕2
     x=4

【例題⑧】2/3x=-1/4x-1   ポイントは、整数にも忘れずに分母の最小公倍数をかけること
  2/3x=-1/4x-1
2/3x✕12=(-1/4x-1)✕12   両辺に12をかけて分母をはらう
   2x✕4=-3x-12
   8x=-3x-12        移項して整理する
 8x+3x=-12
    11x=-12          両辺を11で割る
     x=-12/11

【例題⑨】1/3x+5/2=1/4x 分数の数が多くても、考え方は同じです。最小公倍数を探しましょう
      1/3x+5/2=1/4x     両辺に12をかけて分母をはらう(3・2・4の最小公倍数は12)
1/3x✕12+5/2✕12=1/4x✕12
     4x+30=3x      移項して整理する
     4x-3x=-30
         x=-30

分数を含む方程式の解き方

比例式の解き方

比例式とは2つの比が等しいことを表す等式のことです。
A:B=C:Dのような等式を比例式といいます。
比例式を解くには比例式の性質を利用します。

比例式の性質
ABCD のとき A✕DB✕Cとなる

比例式は内側外側をかけあわせた値が等しくなるようにできています。
この性質を利用して、比例式を解いていきましょう。

【例題⑩】21:x=6:8
21:x6:8   内側と外側をかける
   x✕621✕8
      6x=168     両辺を6で割る
        x=28

【例題⑪】(x+3):25=3:5   カッコがついていても、同じように計算しましょう
(x+3):253:5
   (x+3)✕53✕25
      5x+15=75        15を移行する
           5x=75-15 
     5x=60      両辺を5で割る
    x=12

比例式の解き方

まとめ

一次方程式は、数学のなかでも基礎となる分野です。
問題集などで繰り返し学習し、確実に解けるようになっておきましょう。等式の性質を利用すれば、解けるようにできているので、落ち着いて解くことが大切です。
この記事を参考に、ひとつずつ整理して解いていきましょう。

一次方程式まとめ

 

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