誰でもわかる!指数関数の解き方!グラフの書き方なども解説!

2023.05.11

指数関数とは?

指数関数は、a>0、のとき、 という式で表せる関数のことを指します。

指数というのは、繰り返しかけ算する回数のこと。

のxを「指数」、aを「底」と呼び、aがx回かけられていることを表しているのです。

=8で言うと、指数は3の部分に当たります。

関数は、変数xによって値が決まる数のこと。

は、指数であるxによって値が決まるので、「指数関数」と言います。

指数関数という言葉は、気温の上昇を表す時の表現として天気予報で耳にしたことがあるのではないでしょうか。

指数関数では、a>0のとき、xが増えるとyは急激に増えていきます。

よって、気温が急上昇する時には「指数関数的に上昇する」という言葉がよく使われるのです。

紙を折った時の厚さも、指数関数で表せます。

実際に紙を折ってみるとわかりやすいのですが、1回折ったら2枚分の厚さ、2回折ったら4枚分、3回折ったら8枚分…というように、厚さが急激に増加していきますよね。

指数関数は私達の身近なところでも使われているのです。

指数関数と似ている言葉で、対数関数というのもあります。

指数関数は、aをx回かけたら何になるかを出す関数でした。

対数関数は、という公式で表され、aを何回かけたらxになるかを出します。

指数関数も対数関数も同じ内容なのですが、何を出したいかによって、使う関数が変わってくるのです。

指数関数の性質

指数関数では、yの値は必ず正の値です。

さらに、x=0のときy=1なので、指数関数のグラフは必ず点(0,1)を通ります。

指数関数では「a>0、の場合のみを考える」理由があります。

a=1の場合は何回かけてもy=1なので、yの値が固定されてしまうからです。

同様に、a=0の場合でも、0を何回かけても0なので固定されてしまいます。

0>aの場合は、xが整数ではないときに、yを実数で表せなくなります。

よって、指数関数ではa>0、の場合のみを考えるのが一般的になっているのです。

a>0のとき、xが増加するとyの値は急激に増加していきます。

xの値が増加すると常にyの値も増加する関数を「単調増加関数」と言うので、a>0のときの指数関数は、単調増加関数であると言えます。

xが減少するとyの値はどんどん減少していきますが、0に近い値になるだけでx軸と接することはありません。

一方、1>a>0のとき、xが増加するとyの値は急激に減少していきます。

xの値が減少すると常にyの値も減少する関数を「単調減少関数」と言うので、1>a>0のときの指数関数は、単調減少関数であると言えます。

yの値は減少してx軸に近づきますが、a>0の時と同様、0に近い値になるだけでx軸と接することはありません。

指数関数の計算方法とグラフの書き方

指数関数の計算をしてグラフを書くためには、指数法則を覚えておく必要があります。

まずは、以下の4つの指数法則を覚えていきましょう。

指数法則を使えば、指数関数の計算ができるようになります。

について計算してみましょう。


の場合

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

1

2

4

8

16

32

x=-1のとき、なのでyはです。

同様に計算していくと、上記の表の値になります。

表の値を元にグラフを書いていくと、以下のようなグラフが出来上がります。

yの値が急激に増えていく様子がわかります。

の場合

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

32

16

8

4

2

1

 

x=-1のとき、なのでyは2です。

同様に計算していくと、上記の表の値になります。

表の値を元にグラフを書いていくと、以下のようなグラフが出来上がります。

グラフの向きが変わり、yの値が減少していくことがわかりました。

練習問題

練習問題として、      のグラフとのグラフをかいてみましょう。
のグラフをかいてみましょう。

x=-1のとき、なのでyはです。

同様に計算していくと、以下の表の値になります。

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

1

3

9

27

81

243

 

表の値を元にグラフを書いていくと、以下のようなグラフが出来上がります。

のグラフをかいてみましょう。

x=-1のとき、なのでyは3です。

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

243

81

27

9

3

1

 

表の値を元にグラフを書いていくと、以下のようなグラフが出来上がります。

まとめ

指数関数の公式を覚えるのは簡単ですが、指数法則を使って計算するのは難しいと感じるかもしれません。

指数関数は、aの値が1よりも大きいか小さいかによって使う法則が変わってきますが、基本的な指数法則を覚えていれば計算できます。

指数関数のグラフをかく時のチェックポイントは4つ。

・yの値が必ず正になること
・グラフの形が単調増加か単調減少になること
・x=0のときy=1を通ること
・x軸には接しないこと

以上の4点に気をつけながら、指数関数のグラフをかきましょう。

 

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